La magie des wedges !

[PierroLego16]

Bonjour à tous !

Voilà bien longtemps que je n'ai pas publié un nouveau sujet sur le forum ! Ça me fait plaisir

Depuis que j'ai ralenti les Lego, je m'intéresse aux civilisations anciennes (Et oui, il y a un rapport, on va finir par revenir aux Lego...) Je me suis pris de passion pour les travaux de chercheurs comme Howard Crowhurst ou Quentin Leplat et je réalise aujourd'hui mes propres recherches. Quand on parle des ancien peuples, on pense tout de suite aux pyramides d'Égypte, aux alignements de Carnac, à Stonehenge, etc. Le mystère de ces constructions reste encore très grand, mais les travaux de chercheurs indépendants ont permis de montrer qu'une géométrie bien particulière sous tend la construction et le choix des emplacements de tous ces sites.

Cette géométrie peut être dite "modulaire" dans le sens où elle se fonde sur des modules carrés. Ainsi, au lieu de faire apparaître des angles de 10°, 15°, 30°, 60°, etc, elle va faire apparaître des angles définis par des rapports de nombres entiers. Par exemple, sur un quadrillage, si vous vous décalez de 2 vers la droite et que vous montez de 1, vous allez définir une pente de 26,565...° En mathématiques, on dira "arc-tangente de 1/2" et on notera cet angle arctan(1/2). Je ne vais pas rentrer dans les détails de où, comment et pourquoi on retrouve cette géométrie dans les constructions anciennes. Ce qui nous intéresse ici c'est que pour mes recherches j'ai étudié cette géométrie modulaire et il se trouve qu'elle s'applique aux Lego !

Et bien oui, comment sont définis les angles des wedges ? Avec des arc-tangentes de nombres entiers ! C'est une géométrie qu'on a du mal à utiliser avec nos systèmes de degrés et radians habituels. On ne nous apprend pas les formules qui régissent les arc-tangentes. Du coup, quand on a nos petites briques dans les mains, on tâtonne... Et bien c'est fini !
Je vais vous expliquer comment vous servir proprement des wedges ! (Rien que ça...)

Entre parenthèses, je ne suis même pas sûr que le designer TLG lambda ait conscience de ce que je vais vous montrer car à ma connaissance, aucun set ne propose les montages ci-dessous.
Anio, si tu corrobores ce que je pense, fais leur suivre les images, j'aurais plaisir à monter au Danemark les leur expliquer (Ça y est, le mec se sent plus... )
En fait, il y a sans doute certains sets qui proposent ce genre de chose et que je ne connais pas, mais y a-t-il pour autant des AFOLs qui en ont pris conscience ?

Allons-y : les angles définis par des arc-tangentes de rapports de nombres entiers sont tous en lien avec des triangles de Pythagore spécifiques. Pour rappel, un triangle de Pythagore est un triangle rectangle dont les longueurs des trois côtés sont exprimables en nombres entiers
Les angles arctan(1/2) et arctan(1/3) sont liés au triangle 3-4-5.
Les angles arctan(1/4) et arctan(3/5) sont liés au triangle 8-15-17.
Les angles arctan(1/6) et arctan(5/7) sont liés au triangle 12-35-37.
Je pourrais continuer la liste indéfiniment, mais ce sont ces trois là qui vont nous intéresser en Lego.
Voyez plutôt :


Observer simplement ces montages permet de comprendre des choses.
Pour moi, le montage mettant en évidence le lien entre les wedges 2x2, 2x3 et le premier triangle de Pythagore est d'une harmonie époustouflante !

Notes :
- Le petit montage qui n'est pas un triangle montre que arctan(1/3) + arctan(1/2) = 45°. Ainsi arctan(1/3) + 2 x arctan(1/2) + arctan(1/3) = 90°
- L'absence de wedge 2x6 au profit des 3x12 - qui ont le même angle, arctan(1/6) - contraignent l'esthétique du dernier montage.

Méditez bien sur tout ça, à bientôt !


PS : Au passage, si le sujet vous intéresse et que vous voulez mieux le comprendre pour mieux le mettre en oeuvre, j'ai publié un livre à ce propos en mars :
https://messagedelanuitdestemps.org/liv ... re-coussy/
Ne fuyez pas , il se veut très pédagogique et très accessible.
Les commandes peuvent aussi passer directement par moi : [email protected]

[Free Bird]

Ah pierre, ça fait plaise de te revoir sur le forum. Sujet intéressant, en effet, si les civilisations anciennes m'intéressent pas mal sous certains aspects, je ne connaissais celui que tu abordes. J'avais juste entendu parler que les tables de math des civilisations d'amérique centrale etaient des tables en base 20 et non 10 comme nous.
Aussi, je vais suivre ton lien.

[Anio]

Entre parenthèses, je ne suis même pas sûr que le designer TLG lambda ait conscience de ce que je vais vous montrer car à ma connaissance, aucun set ne propose les montages ci-dessous.
Anio, si tu corrobores ce que je pense, fais leur suivre les images, j'aurais plaisir à monter au Danemark les leur expliquer

Je pense qu'ils sont au courant.

Ces montages me font penser à ça :

2340 tail shape by Nathanael Kuipers, sur Flickr

Comme quoi les pièces sont réellement conçues pour offrir un maximum de compatibilité, même là où on ne les attend pas forcément.

[PierroLego16]

Je suis content d'avoir quelques retours.

Anio, je ne connaissais pas ce montage, toutefois il montre seulement que lorsque TLG crée une pièce, c'est toujours un angle du type arctan(a/b) avec a et b des nombres entiers qui est utilisé. Et c'est logique car le carré, donc le quadrillage, est la base des Lego. Tu dois savoir comme moi que dés qu'on sort de ce genre d'angles avec les Lego, c'est la galère. Il y a par exemple très peu de pièces qui présentent un angle de 60°. Simplement parce que 60° ne peut pas être exprimé sous la forme arctan(a/b) avec a et b des nombres entiers. C'est donc un angle qui met le bazar. D'ailleurs le seul pont direct qui peu être fait entre les degrès et les arc-tangentes de rapports entiers est 45° = arctan(1/1). Tous les autres arctan(a/b) correspondent à un nombre irrationnel de degrés.

La géométrie que j'aborde ici, bien qu'élémentaire en apparence, est un pan quasi oublié des mathématiques. Si vous avez des matheux autour de vous, demandez leur de démontrer que arctan(1/2) + arctan(1/3) = 45°. Ils vont se prendre la tête, et ça va les énerver car le problème est si élémentaire qu'ils penseront être rapidement capable de le résoudre. Je pense que beaucoup de profs de maths ne connaissent pas cette relation, ni celles qui découlent du même domaine comme 2 x arctan(1/3) = arctan(3/4).

C'est pour cette raison que j'ai écrit mon livre (après plusieurs années de réflexions et explorations) et c'est pour cette raison que je doute fort que ces éléments soient connus par les designers TLG.

J'ajoute quelques exemples d'utilisation pour sortir un peu de la théorie.

[Anio]

Je crois que j'ai un set avec ce que tu suggères : l'avion 31039.

Chope la notice et regarde la construction des ailes.

Pas étonnant d'ailleurs que ce set ait été designé par Mike Psiaki (celui qui a fait la Beetle 10252, la grosse Ecto-1, la Mustang, etc). Chez Lego, en interne il est réputé pour être le maître des angles.

[Zebulon]

Merci beaucoup pour ce sujet très intéressant. C'est toujours étonnant de voir comment la géométrie des Legos n'est pas due au hasard mais savamment étudiée par ses concepteurs. Il est fort possible que l'étage des concepteurs de pièces et celui des designers de modèles aient quelques difficultés de communication mais c'est un problème inhérent à la plupart des grandes entreprises ainsi qu'à la difficulté de faire cohabiter créatifs et cartésiens.

[PierroLego16]

Je crois que j'ai un set avec ce que tu suggères : l'avion 31039.

Chope la notice et regarde la construction des ailes.

Yes, merci ! C'est exactement ça ! C'est une utilisation de la formule 2*arctan(1/3) = arctan(3/4).
C'est dommage que ça ne soit pas plus habituel et ça confirme ce que je pense : ça n'est pas quelque chose de très connu alors que c'est élémentaire.
Et ce qui est encore moins connu, c'est qu'avec n'importe quel wedge il y a une application.
Si les wedges 2x5 existaient, on aurait accès au triangle 5-12-13 (le deuxième triangle de Pythagore) avec 2*arctan(1/5) = arctan(5/12).

Merci beaucoup pour ce sujet très intéressant.

De rien, c'est un plaisir !

C'est toujours étonnant de voir comment la géométrie des Legos n'est pas due au hasard mais savamment étudiée par ses concepteurs.

Et bien justement, je ne suis pas sûr. Je pense que c'est parce que les Lego sont basés sur des carrés que les angles de pièces sont basés sur des arc-tangentes de rapports d'entiers, mais que les liens de ces angles avec les triangles de Pythagore sont très méconnus. Je vous mets vraiment au défi de trouver la formule générale sur Internet !

Je prendrai le temps de modéliser des exemples plus complexes.

[Zebulon]

Pourquoi ne pas essayer de prendre contact avec Lego et leur présenter vos travaux. Ce serait top d'avoir une étude sur la géométrie des pièces Lego (je sais qu'il existe déjà des choses notamment relatives aux dimensions épaisseur, tenons avec des indications sur des assemblages de type snot mais effectivement l'aspect des angles (hors 90°) n'est pas étudié. En tout cas c'est vraiment passionnant.

[PierroLego16]

Je ne pense pas que TLG soit simple à contacter. Je me trompe peut-être.
Mais je suggérais bien à Anio, dans mon first post, de leur transmettre mes images s'il l'estimait pertinent.

[PierroLego16]

Un exemple plus complexe :

Si on combine des wedges 2x3 et 2x4, on obtient :
arctan(1/3) + arctan(1/4) = arctan(7/11)
Puis 2 x arctan(7/11) = arctan(36/77)
C'est l'angle du triangle de Pythagore 36-77-85.
Ça donne le montage ci-dessous
Son intérêt reste très discutable mais géométriquement, ça pète !

[Anio]

Intéressant.
Faudrait que tu le fasses pour le 75252.

Car pour les ailes, l'angle est simple. Mais pour la structure, l'angle n'est pas si simple parce qu'il prend en compte l'inclinaison des ailes. Autrement dit, l'angle de la structure est plus petit que celui des ailes.
Pourtant, sur la construction, tout tombe pile poil.

Ce serait intéressant de voir si ce sont des correspondances parfaites de trigo, ou bien des approximations très précises qui font illusion.

[GilGalad]

J'ai compris beaucoup de temps pour comprendre ce que tu a écrit
C'est plus qu'évident que je sui très rouillé
Seulement après avoir écrit un message très long pour demander des explications, j'ai compris que le première montage est "sans les pointes", et qu'il faut le "prolonger" pour voir le triangle 3-4-5 entièrement (et doublé).
Je savais déjà que arctan(1/2)+arctan(1/3) c'est 45 dégrées (et cela m'avais déjà stupéfié ) , mais les voir dans le triangle 3-4-5 est vraiment magnifique ! tu a bien raison de diffuser cette beauté !

[GilGalad]

Ce serait intéressant de voir si ce sont des correspondances parfaites de trigo, ou bien des approximations très précises qui font illusion.

dans le cas du triangle 3-4-5, c'est parfait.

L'angle "grand" du triangle 3-4-5 (le bleu dans l'image du première message) est égal à arctan(4/3).
Mais il est également égal à arctan(1/2) + arctan(1/2) (les deus wedge bleu).

arctan(a) + arctan(b) = arctan( (a+b) / (1-ab) ) - link
donc cet angle c'est égal à arctan ( (1/2 + 1/2) / (1 - 1/2 * 1/2) ) = arctan( 1 / (3/4) ) = arctan(4/3).

(j’espère de n'avoir pas fait de la confusion et que tu ne faisait pas référence à des autres choses... )

[PierroLego16]

75252.

Tu me l'envoies et je te fais toutes les investigations et tous les calculs que tu veux

après avoir écrit un message très long pour demander des explications

Je t'aurais renvoyé vers mon livre car je l'ai écrit justement pour éclaircir tout ça. Plus il sera diffusé, et plus ce savoir renaîtra. Si vous avez des profs de maths dans votre entourage, parlez-en

j'ai compris que le première montage est "sans les pointes", et qu'il faut le "prolonger" pour voir le triangle 3-4-5 entièrement (et doublé).

On peut aussi le voir en faisant abstraction des parties qui ont des tenons. Comme sur le schéma (vite fait) ci-dessous.

Je savais déjà que arctan(1/2)+arctan(1/3) c'est 45 dégrées (et cela m'avais déjà stupéfié ) , mais les voir dans le triangle 3-4-5 est vraiment magnifique ! tu a bien raison de diffuser cette beauté !

Oui, c'est très étonnant, et tous les triangles de Pythagore peuvent être décomposés ainsi !

[GilGalad]

C'est étonnant comment je n'ai pas été capable de voir le triangle 3-4-5 "à l’intérieur" mais j'ai eu besoin de l’imaginer "en dehors", en prolongeant les plates