Un planimètre est un dispositif mécanique qui permet de calculer l'aire d'une surface en parcourant son périmètre. A la différence du planimètre de Pritz qui utilise une approximation des surfaces, le planimètre orthogonal fonctionne avec un vrai intégrateur : un disque / roulette.
Voici le modèle officiel datant de 1825 :
Ce planimètre est composé de :
- Un bâti
- Des roues de 61mm reliées entre elles et entraînant le disque jaune au moyen d'une roue
- un bras polaire pouvant tourner sur un axe au centre du bâti
- la roulette reliée au bras polaire et glissant sur le disque
- le cadran relié à la roulette comptant le nombre de tour et donc la mesure de la surface
Le fonctionnement est le suivant : en parcourant la surface, on vient déplacer le planimètre de deux façons : en roulant et en déplaçant le bras polaire qui pivote sur son axe. Le déplacement du planimètre fait rouler les roues, qui sont reliées au disque via un engrenage : roue sur roue. Quand le bras polaire est droit, le disque tournant, la roulette ne tourne pas car elle se retrouve au centre du disque. Lorsqu'on déplace le bras en le faisant pivoter, la roulette se déplace aussi sur le disque, si le disque tourne, la roulette tourne alors avec un rapport des deux diamètres (celui de contact du disque et celui de la roulette).
Ceci est le mécanisme d'intégration. Une intégration est en fait une somme de multiplication, (dit multiplication continue). Si le disque tourne de X dégrée, la roulette va tourner de Y dégrée fois un facteur. Le facteur dépendant de la position de la roulette sur le disque, çad le rapport des diamètres D/d (disque / roulette), c’est en fait analogue à une boite de vitesse à une infinité de rapport. Si maintenant on considère la rotation comme étant la variable X, et la position de la roulette sur le disque la variable Y, en sortie de la roulette (en rotation), on retrouve l'intégral y dx fois un facteur dépendant du diamètre de la roulette comme montré sur ce dessin.
C'est le même principe qui est utiliser dans les analyseurs différentiels puisque selon comment on l'utilise, il peut dériver ou intégrer, bien pratique pour résoudre les équations différentiels.
Ainsi, en parcourant la frontière de la surface, le mécanisme intégrateur multiplie la position angulaire fois le déplacement en le sommant de façon continue (çad en tout point et en tout instant de la courbe). Ensuite, on sort le théorème de green qui dit que l'intégrale de la surface curviligne est égal à l'aire dans la forme. Et hop, on a calculé l'aire ! Merci Mr Green..
Comme dit précédemment, ce planimètre utilise un système intégrateur juste, et non pas une approximation. C'est pourquoi pour avoir une précision maximale, les mécanismes ne doivent pas avoir de jeu (surtout à l'inversion). C'est pourquoi la transmission qui relie les roues au disque n'est pas un renvoi d'angle à engrenage à denture mais un pneu qui frotte sur un autre. De cette façon, le système n'a pas de jeu.
Aussi, j'ai monté sur un bâti pivotant le système de totalisation, pour que la roulette soit toujours en contact avec le disque, le poids de l'ensemble suffit à avoir une bonne adhérence. Ainsi, l'ensemble de transformation de mouvement se fait sans jeu assurant une précision bien meilleure que le planimètre de pritz et surtout sans approximation.
Ainsi, la mesure minimale est de 5cm² contre 25cm² pour le pritz. La mesure maximale est de 400cm² contre 150cm², et la résolution de mesure est de l'ordre de 2-3cm² contre 10cm². Surtout le système est linéaire de 5 à 400cm² comparée à la zone beaucoup plus restreinte du planimètre de pritz.
Et maintenant, la vidéo, pour bien comprendre :
Bien sur il y aura des instructions. En attendant, n’hésitez pas à commenter !
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qui me laisse bouche baie !
n voit bien qu'il exécute le produit des 2 déplacement orthogonaux donc c'est bien une surface qui est proportionnelle à la rotation du compteur .Je me trompe ?
